地球の外周を測る　エラトステネスの思考実験

エラトステネスより約一世紀前のアリストテネスは、いくつか地球の形状は球状であると書き残している。　エラトステネス以前においては地球の大きさは推定値としか知られておらず、またその算出方法についても明確なものは存在していなかった。　エラトステネスは北アフリカに生まれアテナイで教育を受け、エジプト王からの招聘を受け、王家の教師となり、後に当時の知の殿堂であるアレクサンドルの図書館の館長を務めることになった。
エラトステネスは旅人の話から、シエネ（現在のアスワンといわれる）において、夏至にはちょうど太陽が真上に位置し、直立するものから影が消え、井戸の内部にまで日光が差し込むことを聞いた。　またそれに加え、アレクサンドリアの位置がシエネの北、ほぼ同じ経線上に位置する(日中の時間を比較することで容易に推測される)ことを知っていた。　さらに、毎年のナイル川の調査の結果、シエネとアレクサンドリアの距離が約5千スタディアであることもわかっていた。
下記の地図を参照のように、現在のアスワンはほぼ北回帰線上に位置する。　北回帰線上より北にある(日本も含む)地域では、太陽が真上に来ることはなく、影が消えることもない。　北回帰線上で、太陽が真上に来るのは夏至の日であり、このような現象が起こるのは太陽に対して、地球の公転軸が傾いているために起こる現象である。

なぜこの時代に地球の外周を測る必要があったのか？　また判明した後それがどのように利用されたのか？を考えることは野暮なことかも知れない。　人間は新たな知を求めることが生まれながらの本能である。
幾何学の知識も十分に持ち合わせていたエラストテネスが、用いた方法は非常にエレガントな方法で、夏至にシエネにおいて太陽が真上に達し、影が消失する時間帯に、北部に位置するアレクサンドリアでは、真上に太陽は来ることはなく、必然的に影が発生することになる。　これは太陽光線が平行であると仮定するならば、アレクサンドリアにおいては、地球が丸いため地表に垂直な向きに対して小さな角度を発するがために生まれる影である。　この角度が小さく影が短い場合は、地球の曲率は小さく、地球の外周は大きいことになる。　角度が大きく影が長い場合は、曲率が大きく地球の外周は小さいことになる。　エウスレイデスが使用した幾何学は二本の平行線と交わる一本の直線の内角(錯角)は等しいという定理である。　アレクサンドリアで生じた影の角度は、地球の中核部分に存在する角度に転用が可能となる。　それとともにアレクサンドリアで観測された影の長さ(弧)とその弧を含む完全な円との比は、シエネとアレクサンドリアの距離と地球の外周との比に転用が可能となる。　これによって得られた値は、縮尺単位の解釈に諸説あるが、現代に得られている地球の周長４万キロメートルという値の数パーセントの誤差内に収まっているものである。　2.300年前の算出数値であることを考えると非常に驚くべきことであろうが本質はこの誤差が少ない数値にあるわけではない。

ここで、再度下段の地図を参照してみると、シエネ(アスワン)は正確には北回帰線上にはない。　またシエネとアレクサンドリアは同じ経線上にあるわけではない。　シエネとアレクサンドリアの距離計測についても、さまざまな観測値が混在していたことは容易に想像できる。　算出された数値が現代において正確に観測された数値と大差がなかったという事実よりも、この算出手段を利用して緯度が判明している地点間の距離を容易に算出できるようになったことのほうが大きいとされる。　これは以後の時代においても、惑星間の距離の判定など、宇宙スケールのものさしを人類が手に入れた端緒とされているエラトステネスによる偉大な業績といえる。

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